David Hilbert: Grundlagen der Geometrie (Festschrift 1899) by Klaus Volkert PDF

By Klaus Volkert

ISBN-10: 3662455684

ISBN-13: 9783662455685

ISBN-10: 3662455692

ISBN-13: 9783662455692

Originaltext und historischer und mathematischer Kommentar von Klaus Volkert

David Hilberts „Festschrift“ Grundlagen der Geometrie“ aus dem Jahre 1899 wurde zu einem der einflussreichsten Texte der Mathematikgeschichte. Wie kein anderes Werk prägte es die Mathematik des 20. Jahrhunderts und ist auch heute noch von größtem Interesse.

Aus der Perspektive eines Mathematikhistorikers schildert der Herausgeber die Entwicklung einer Axiomatik der Geometrie, die spätestens mit Euklids „Elemente“ (ca. three hundred v. u. Z.) begann und erst durch Hilbert zu einem vollständigen und handhabbaren approach geführt wurde. Nach einer ausführlichen Erläuterung des Hilbertschen Textes wird seine Rezeption bis 1905 umfassend dargestellt und daran anschließend viele der von ihm ausgehenden weiteren direkten und indirekten Entwicklungen skizziert.

Die Faszination des Textes ist auch dem heutigen Leser direkt zugänglich, da Hilbert´s axiomatischer Ansatz ohne mengentheoretische Argumente oder formale Logik auskommt.

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Helmholtz verwendete anders als Hankel in seiner Schrift „Zählen und Messen, erkenntnistheoretisch betrachtet“ von 1887 ausgiebig den Begriff „Axiom“ im Zusammenhang mit Fragen der Arithmetik. Dort heißt es: Die Arithmetiker haben bisher an die Spitze ihrer Entwicklungen folgende Sätze als Axiome gestellt: Axiom I. Wenn zwei Größen einer dritten gleich sind, sind sie auch unter sich gleich. Axiom II. Assoziativitätsgesetz der Addition nach H. b C c/ : Axiom III. Kommutationsgesetz der Addition: aCb D bCa: Axiom IV.

III. Zwei Größen a und b, die auch identisch sein können, ergeben in einer bestimmten Reihenfolge eine eindeutig bestimmte Summe a C b. IV. a C b ist größer als a und größer als b. V. Ist a < b, so gibt es ein x so, dass a C x D b, und ein y so, dass y C a D b. VI. b C c/. VII. Wenn alle Größen in zwei Klassen so eingeteilt sind, dass jede Größe einer und nur einer Klasse zugewiesen ist, dass jede Klasse Größen enthält, und jede Größe der ersten Klasse kleiner ist als jede Größe der zweiten, so existiert eine Größe derart, dass jedes 0 < zur ersten, und jedes 00 > zur zweiten Klasse gehört.

B. Fano, Pieri, Padoa, De Paolis, . . ) mit diesen Fragen beschäftigten. Wie die Zeitgenossen die Arbeiten der italienischen Mathematiker sahen, wird deutlich in einer Besprechung eines Artikels von Pieri aus dem „Jahrbuch über die Fortschritte der Mathematik“: Auch diese Arbeit gehört zu der Reihe von Untersuchungen, in denen der Verf. die Methode der mathematischen Logik auf die Analysis der innersten Struktur der Geometrie anwendet, . . 51 Es geht also bei den Italienern weniger um inhaltliche Geometrie denn um Metageometrie, aber – so muss man hinzufügen – in einer ganz anderen Art als bei Hilbert.

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by Edward
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